TRIGONOMETRIA

RESEÑA HISTÓRICA "TRIGONOMÉTRIA"

El estudio de la Trigonometría lo inició Hiparco 150 años a. C. pero su historia se remonta a los egipcios y babilonios, primeros en medir ángulos.

Se considera como la rama de la geometría métrica y se ocupa de la medida de los elementos de los triángulos.

Hiparco es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio.

El desarrollo de la trigonometria estuvo asociado al estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo.

Actualmente la trigonometria tiene aplicaciones en varios campos de la tecnologia, especialmente en AGRIMENSURA, NAVEGACIÓN MECÁNICA, APLICACIONES DE VECTORES, EL MOVIMIENTO Y EL SONIDO.

RAZONES TRIGONOMETRICAS

RAZÓN: La razón de un numero a con otro umero b distinto de 0, es el cociente que resulta de dividir a entre b; o sea, la razón es el numero que resulta de comparar por cociente dos magnitudes.

Las razones que existen entre todos los lados de un triangulo varian al variar el angulo del que se trate, es decir, que las razones son funciones del angulo.

• Las razones trigonométricas se generaliza para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro esta situado en el origen. Los angulos se miden en sentido anti horario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
• Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
• Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
• La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
• Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).

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PROBLEMAS DE APLICACION

A) El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 3m. Si forma un ángulo 51º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?

B) Un observador se encuentra en un faro al pie de un acantilado. Esta a 687m sobre el nivel del mar, desde este punto observa un barco con un ángulo depresión de 23º. Se desea saber a que distancia de la base del acantilado se encuentra el barco.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

En un triangulo ABC los lados se han designado con la misma letra, pero minuscula del vertice al cual se oponen entre si,

Los nombres de las funcioes trigonometricas son: SENO, COSENO, TANGENTE,  y las funciones reciprocas que son COTANGENTE,SECANTE Y COSECANTE.

(Adyacente significa tocando el ángulo, y opuesto es opuesto al ángulo... ¡claro!)

Función seno:	sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa
Función coseno:	cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa
Función tangente:	tan(θ) = Opuesto / Adyacente

Funcion cotangente: ctg(θ) =  Adyacente / Opuesto

Funcion secante:  sct(θ) = Hipotenusa /  Adyacente

Funcion cosecante:  cst(θ) = Hipotenusa / Opuesto

SENO

COSENO

 

TANGENTE

COTANGENTE

SECANTE

COSECANTE

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidad trigonométrica es una igualdad algebraica entre razones de un mismo angulo que se verifica o satisface para cualquier valor que se le asigne a dicho angulo.

1Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

2Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

3Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

EJERCICIOS DE IDENTIDADES 

TRIGONOMÉTRICAS

1

2

3

MODELOS MATEMÁTICOS (SENO, COSENO Y TANGENTE)

LEY DE SENO

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

EJERCICIOS DE LEY DE SENOS

A) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°.

B) Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

LEY DE COSENO

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

EJERCICIOS

Las Diagonales De Un paralelogramo Miden 10 cm y 12 cm, y el angle Que Forman es de 48 ° 15 '. Calcular el los Lados.